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Números Complejos:

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un cuerpo algebraicamente cerrado. El conjunto de los números complejos se designa con la notación

\scriptstyle {\mathbb {C}}

, siendo

\scriptstyle {\mathbb {R}}

el conjunto de los números reales se cumple que

\scriptstyle {\mathbb {R}}\subset {\mathbb {C}}

(

\scriptstyle {\mathbb {R}}

está estrictamente contenido en

\scriptstyle {\mathbb {C}}

). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

SUMA:

Para sumar dos números complejos , sume la parte real a la parte real y la parte imaginaria a la parte imaginaria.

Ejemplo:

(2 + 7 i ) + (3 – 4 i ) = (2 + 3) + (7 + (–4)) i
          = 5 + 3 i

RESTA:

Para restar dos números complejos, reste la parte real de la parte real y la parte imaginaria de la parte imaginaria.

Ejemplo:

(9 + 5 i ) – (4 + 7 i ) = (9 – 4) + (5 – 7) i

          = 5 – 2 i

MULTIPLICACIÓN:

Para multiplicar dos números complejos, use el método FOIL y combine los términos semejantes .

Ejemplo:

(3 + 2 i )(5 + 6 i ) = 15 + 18 i + 10 i + 12 i 2

      = 15 + 28 i – 12

      = 3 + 28 i

DIVISIÓN:

Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo, desarrolle y simplifique. Luego, escriba la respuesta final en la forma estándar.

Ejemplo:

¿Qué es un número real?

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por

\mathbb{R}

) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Las operaciones fundamentales de estos números son: suma, resta, multiplicación y división.

Suma de números reales

1 Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real. Es decir, si a y b pertenecen a los números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa:

$\rightarrow \hspace{.5cm} a\in \mathbb{R}$

Entonces la suma resultará un número real también.

$a+b\in \mathbb{R}$

Ejemplo:

$\pi+\sqrt{2}\in \mathbb{R}$

2 Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. Es decir,

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ejemplo:

$\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$

3 Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

$a+b=b+a$

Ejemplo:

$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$

4 Elemento neutro:

El elemento neutro $e$ es un número que cumple que

$a+e=e+a=a$

para cualquier número $a$

En el caso de los números reales, el $0$ es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

$a+0=a=0+a$

Ejemplo:

$\pi+0=\pi$

5 Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el elemento neutro, en este caso, cero.

Al opuesto de un número $a$ se le denota como $-a$ . Entonces,

$a-a=0$

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

$-(-a)=a$

Resta de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

$a - b = a + (-b)$

Producto de números reales

Propiedades:

1 Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

$a\cdot b\in \mathbb{R}$

2 Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales cualesquiera, se cumple que:

$(a\cdot b)\cdot c= a\cdot (b\cdot c)$

Ejemplo:

$(\sqrt{2}\cdot \pi)\cdot e =\sqrt{2}\cdot(\pi\cdot e)$

3 Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

$a\cdot b=b\cdot a$

Ejemplo:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}$

4 Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

$a\cdot 1=1\cdot a=a$

Ejemplo:

$\pi\cdot 1=\pi$

5 Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

$a\cdot \frac{1}{a}=1$

Ejemplo:

$\pi\cdot \frac{1}{\pi}=1$

6 Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

$a\cdot (b+ c)=a\cdot b+ a\cdot c$

$\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}+ 1)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+ \sqrt{2}\cdot 1=2+\sqrt{2}$

7 Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

$a\cdot b+ a\cdot c=a\cdot (b+ c)$

Ejemplo:

$\pi e^2+ e^3=e^2\cdot (\pi + e)$

Regla de los signos

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

$\begin{align*} {\color{Red} + } \text{ por } {\color{Red} + } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Red} - } \text{ por } {\color{Red} - } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Blue} + } \text{ por } {\color{Blue} - } &= {\color{Blue} -} \\ {\color{Blue} - } \text{ por } {\color{Blue} + } &= {\color{Blue} - } \end{align*}$

Ejemplos:

$-\left( 3\sqrt{2} \right )\left( -\pi \right )=3\pi\sqrt{2}$
$\left( e-\sqrt{5} \right )\left( -\sqrt{5} \right )=-e\sqrt{5}+5$

División de números reales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

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lunes, 16 de marzo de 2020

NÚMEROS COMPLEJOS Y SUS OPERACIONES FUNDAMENTALES

Números Complejos:

NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES FUNDAMENTALES

¿Qué es un número real?

Suma de números reales

1 Interna:

2 Asociativa:

3 Conmutativa:

4 Elemento neutro:

5 Elemento opuesto:

Resta de números reales

Producto de números reales

Propiedades:

1 Interna:

2 Asociativa:

3 Conmutativa:

4 Elemento neutro:

5 Elemento opuesto:

6 Distributiva:

7 Sacar factor común:

Regla de los signos

División de números reales