temario: NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES FUNDAMENTALES

¿Qué es un número real?

En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por

\mathbb{R}

) incluye tanto a los números racionales, (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como √5, π, o el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.

Las operaciones fundamentales de estos números son: suma, resta, multiplicación y división.

Suma de números reales

1 Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real. Es decir, si a y b pertenecen a los números reales, en lenguaje matemático esto mismo se expresa:

$\rightarrow \hspace{.5cm} a\in \mathbb{R}$

Entonces la suma resultará un número real también.

$a+b\in \mathbb{R}$

Ejemplo:

$\pi+\sqrt{2}\in \mathbb{R}$

2 Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado. Es decir,

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ejemplo:

$\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})=(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}$

3 Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

$a+b=b+a$

Ejemplo:

$\sqrt{3}+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$

4 Elemento neutro:

El elemento neutro $e$ es un número que cumple que

$a+e=e+a=a$

para cualquier número $a$

En el caso de los números reales, el $0$ es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número.

$a+0=a=0+a$

Ejemplo:

$\pi+0=\pi$

5 Elemento opuesto:

Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el elemento neutro, en este caso, cero.

Al opuesto de un número $a$ se le denota como $-a$ . Entonces,

$a-a=0$

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

$-(-a)=a$

Resta de números reales

La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo.

$a - b = a + (-b)$

Producto de números reales

Propiedades:

1 Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

$a\cdot b\in \mathbb{R}$

2 Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si $a$ , $b$ y $c$ son números reales cualesquiera, se cumple que:

$(a\cdot b)\cdot c= a\cdot (b\cdot c)$

Ejemplo:

$(\sqrt{2}\cdot \pi)\cdot e =\sqrt{2}\cdot(\pi\cdot e)$

3 Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

$a\cdot b=b\cdot a$

Ejemplo:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt[3]{3}= \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{2}$

4 Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

$a\cdot 1=1\cdot a=a$

Ejemplo:

$\pi\cdot 1=\pi$

5 Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

$a\cdot \frac{1}{a}=1$

Ejemplo:

$\pi\cdot \frac{1}{\pi}=1$

6 Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

$a\cdot (b+ c)=a\cdot b+ a\cdot c$

$\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}+ 1)=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}+ \sqrt{2}\cdot 1=2+\sqrt{2}$

7 Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

$a\cdot b+ a\cdot c=a\cdot (b+ c)$

Ejemplo:

$\pi e^2+ e^3=e^2\cdot (\pi + e)$

Regla de los signos

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

$\begin{align*} {\color{Red} + } \text{ por } {\color{Red} + } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Red} - } \text{ por } {\color{Red} - } &= {\color{Red} + } \\ {\color{Blue} + } \text{ por } {\color{Blue} - } &= {\color{Blue} -} \\ {\color{Blue} - } \text{ por } {\color{Blue} + } &= {\color{Blue} - } \end{align*}$

Ejemplos:

$-\left( 3\sqrt{2} \right )\left( -\pi \right )=3\pi\sqrt{2}$
$\left( e-\sqrt{5} \right )\left( -\sqrt{5} \right )=-e\sqrt{5}+5$

División de números reales

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

temario

lunes, 16 de marzo de 2020

NÚMEROS REALES Y SUS OPERACIONES FUNDAMENTALES

¿Qué es un número real?

Suma de números reales

1 Interna:

2 Asociativa:

3 Conmutativa:

4 Elemento neutro:

5 Elemento opuesto:

Resta de números reales

Producto de números reales

Propiedades:

1 Interna:

2 Asociativa:

3 Conmutativa:

4 Elemento neutro:

5 Elemento opuesto:

6 Distributiva:

7 Sacar factor común:

Regla de los signos

División de números reales

No hay comentarios.:

Publicar un comentario